Produit scalaire

Quiz synthèse : Vrai/Faux

Produit scalaire

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$. On appelle produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ par $\overrightarrow{v}$ et on note $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$ le nombre réel défini par :

$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=AB\times AH$$
$$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-AB\times AH$$

On considère la figure ci-dessous qui n'est pas à l'échelle mais où les points qui semblent alignés le sont vraiment.

Calculez les produits scalaires suivants :

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$
$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$
$\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EC}$
$\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}$

$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AE}$ sont colinéaires et de sens contraires.

Donc $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}\lt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AE}=-AC\times AE=-5\times 6=-30$.
Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $D$.

Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$.

Or $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires et de sens contraires.

Donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\lt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AD=-10\times 3=-30$.
Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires et de même sens.

Donc $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}=BA\times BD=10\times (10+3)=130$.
Le projeté orthogonal de $B$ sur $(CA)$ est $E$.

Donc $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CE}$.

Or $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CE}$ sont colinéaires et de même sens.

Donc $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}=CA\times CE=5\times 11=55$.
$\overrightarrow{EA}$ et $\overrightarrow{EC}$ sont colinéaires et de même sens.

Donc $\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EC}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{EA} \cdot \overrightarrow{EC}=EA\times EC=6\times 11=66$.
Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AD)$ est $D$.

Donc $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD}$.

Donc $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC}=AD\times AD=3\times 3=9$.
Les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires et de sens contraires.

Donc $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}\lt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AB}=-AD\times AB=-3\times 10=-30$.
Le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ est $D$.

Donc $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BD}$.

Or $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont colinéaires et de même sens.

Donc $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}=BA\times BD=10\times (10+3)=130$.
Le projeté orthogonal de $A$ sur $(CD)$ est $D$.

Donc $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CD}$.

Donc $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}\gt0$.

Par conséquent $\overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA}=CD\times CD=4\times 4=16$.

Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs du plan et $\lambda$ un nombre réel.

Symétrie : $$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$$
Linéarité : $$(\lambda\overrightarrow{u})\cdot\overrightarrow{v}=\lambda(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}\cdot(\lambda\overrightarrow{v})$$ $$\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$$

Soit $ABC$ un triangle tels que $AB=2$, $BC=4$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10$. Calculez en utilisant les propriétés du produit scalaire :

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}$

Par symétrie du produit scalaire :

$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10$$
$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=(-\overrightarrow{AB})$$
Par linéarité du produit scalaire :

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-10$$
$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=\left(-\overrightarrow{AB}\right)\cdot\left(-\overrightarrow{AC}\right)$$
Par linéarité du produit scalaire :

$$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10$$
Par symétrie du produit scalaire :

$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}$$
$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}\cdot\left(-\overrightarrow{AC}\right)$$
Par linéarité du produit scalaire :
$$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-10$$

Soit $ABC$ un triangle tels que $AB=2$, $BC=4$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=10$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$ sur $(AC)$. Calculez les produits suivants en justifiant à l'aide des propriétés du produit scalaire :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$
$(\overrightarrow{AC})^2$

$$ \begin{align*} \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}&=\overrightarrow{AB}\cdot(-\overrightarrow{AC})\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}&=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CA}&=-10 \end{align*} $$
$$\begin{align*} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}&=(-\overrightarrow{AB})\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}&=-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}&=-10 \end{align*} $$
$$\begin{align*} \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}&=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}&=(-\overrightarrow{AB})\cdot(-\overrightarrow{AC})\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}&=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BA}&=10 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{BA}\cdot(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}&=\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}&=BA^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}&=2^2-10\\ \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}&=-6 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA})\cdot\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=CB^2-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=4^2-(-6)\\ \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}&=22 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \overrightarrow{AC}^2&=(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC})\cdot\overrightarrow{AC}\\ AC^2&=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{HC}\cdot\overrightarrow{AC}\\ &=\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CH}\\ &=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\\ &=10+22\\ AC^2&=32\\ AC&=4\sqrt{2} \end{align*} $$

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont dits orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires.

Deux vecteurs non nuls $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$.

La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme formé par ces deux vecteurs.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc colinéaires si et seulement si cette aire est nulle.
Autrement dit, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=0$.
La valeur absolue du produit scalaire de deux vecteurs est l'aire d'un rectangle formé par le premier vecteur et l'image par une rotation d'angle droit dans le sens direct de la projection orthogonale du second vecteur sur le premier vecteur.
$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont donc orthogonaux si et seulement si cette aire est nulle.
Autrement dit, $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$.

On considère un carré $ABCD$ de centre $O$. Parmi les produits scalaires suivants, lesquels sont nuls ? Justifiez.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DB}$
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux car leurs directions sont portées par deux côtés consécutifs d'un carré.

Donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$.
$\overrightarrow{DC}$ est porté par un côté du carré.

$\overrightarrow{DB}$ est porté par une diagonale du carré.

Donc $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{DB}$ ne sont pas orthogonaux.

Donc $\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DB}\neq0$.
$\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux car leurs directions sont portées par deux diagonales d'un carré.

Donc $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0$.
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{OB}$ sont orthogonaux car leurs directions sont portées par deux diagonales d'un carré.

Donc $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{OB}=0$.

$ABCD$ est un parallélogramme. Dans chaque cas, précisez la nature de $ABCD$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=0$
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$
$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0$

$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont orthogonaux et sont portés par deux côtés consécutifs d'un parallélogramme.

Or si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c'est un rectangle.

Donc $ABCD$ est un rectangle.
$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux et portés respectivement par un côté et une diagonale d'un parallélogramme.

$ABCD$ est un parallélogramme, on ne peut rien dire de plus.
$\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BD}$ sont orthogonaux et portés respectivement par deux diagonales d'un parallélogramme.

Or si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

Donc $ABCD$ est un losange.

Norme et produit scalaire

On note $\overrightarrow{u}^2$ et on appelle carré scalaire de $\overrightarrow{u}$ le nombre réel $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}$. On a : $$\overrightarrow{u}^2=\|\overrightarrow{u}\|^2$$

Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs du plan. Alors : $$\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2=\|\overrightarrow{u}\|^2+2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\|\overrightarrow{v}\|^2$$ $$\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|^2=\|\overrightarrow{u}\|^2-2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\|\overrightarrow{v}\|^2$$ $$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\cdot(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v})=\|\overrightarrow{u}\|^2-\|\overrightarrow{v}\|^2$$

Ces propriétés permettent de montrer qu'un parallélogramme est un rectangle si et seulement si ses diagonales sont de même longueur.
En effet deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ forment un parallélogramme dans lequel $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ sont les diagonales.
Or les diagonales sont de même longueur si et seulement si $\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|=\|\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\|$.
D'après les propriétés précédentes, cela revient à dire que $2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$.

On se propose de démontrer la propriété suivante à l'aide des propriétés du produit scalaire.

Propriété : Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $(AC)\perp(BD)$. On note $O$ le point d'intersection des diagonales.
On a : $$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=0.$$ Or $$\begin{align*} \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)\\ \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}&=AB^2-AD^2 \end{align*}$$ Ainsi $AB^2-AD^2=0$ ou encore $(AB+AD)(AB-AD)=0.$
Or un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
$AB+AD\gt0$ car $ABCD$ est un parallélogramme.
Donc $AB-AD=0$ et $AB=AD$.
Or si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
Donc $ABCD$ est un losange.

Exprimons le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ en fonction de leurs normes et de la norme de leur somme. $$\begin{align*} \|(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\|^2&=\|\overrightarrow{u}\|^2+2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\|\overrightarrow{v}\|^2\\ 2\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=\|(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2-\|\overrightarrow{v}\|^2\\ \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}&=\frac{1}{2}\left(\|(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})\|^2-\|\overrightarrow{u}\|^2-\|\overrightarrow{v}\|^2\right) \end{align*}$$ On montre ainsi que le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si la norme de leur somme est égale à la somme de leurs normes. Ce qui correspond à la relation de Pythagore dans un triangle rectangle.
On montre de même que le produit scalaire de deux vecteurs est nul si et seulement si la norme de leur différence est égale à la somme de leurs normes. Ce qui correspond à la relation de Pythagore dans un triangle rectangle.

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que $AB=6$, $AD=3$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=-10$. Calculez.

$\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2$
$\|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2$

$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})$

$$ \begin{align*} \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2&=\|\overrightarrow{AB}\|^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\|\overrightarrow{AD}\|^2\\ \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2&=AB^2+2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+AD^2\\ \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2&=6^2+2\times(-10)+3^2\\ \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2&=36-20+9\\ \|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\|^2&=25 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2&=\|\overrightarrow{AB}\|^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\|\overrightarrow{AD}\|^2\\ \|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2&=AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+AD^2\\ \|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2&=6^2-2\times(-10)+3^2\\ \|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2&=36+20+9\\ \|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\|^2&=65 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})&=\|\overrightarrow{AB}\|^2-\|\overrightarrow{AD}\|^2\\ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})&=AB^2-AD^2\\ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})&=6^2-3^2\\ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})&=36-9\\ (\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})&=27 \end{align*} $$

Soit $ABC$ un triangle. En utilisant le produit scalaire, démontrez que $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$.

$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}=0$.
$$ \begin{align*} BC^2&=(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})^2\\ BC^2&=\overrightarrow{BA}^2+2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}^2 \end{align*} $$
Donc $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $BC^2=AB^2+AC^2$.

Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du plan. Démontrez les formules suivantes :

$BC^2=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$
$AC^2=BA^2+BC^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$
$AB^2=AC^2+BC^2-2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$

$$ \begin{align*} BC^2&=\|\overrightarrow{BC}\|^2\\ BC^2&=(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{CA})^2\\ BC^2&=\overrightarrow{BA}^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CA}^2\\ BC^2&=AB^2-2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+AC^2 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} AC^2&=\|\overrightarrow{AC}\|^2\\ AC^2&=(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC})^2\\ AC^2&=\overrightarrow{BA}^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2\\ AC^2&=BA^2-2\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}+BC^2 \end{align*} $$
$$ \begin{align*} AB^2&=\|\overrightarrow{AB}\|^2\\ AB^2&=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC})^2\\ AB^2&=\overrightarrow{AC}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BC}^2\\ AB^2&=AC^2-2\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}+BC^2 \end{align*} $$